Conjuntos de números: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales

Conjuntos de números: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Las categorías de números muestran cómo algunos grupos de números son diferentes o similares a otros grupos de números. Algunas de estas categorías se superponen e incluyen subconjuntos entre sí porque comparten características similares, mientras que otras categorías son únicas y no se superponen. En este artículo, discutiremos qué son los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.

Conjuntos de números reúne varios conjuntos cuyos elementos son numéricos. Están formados por los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.

Conjuntos de números – Clasificación

Consulte las características de cada uno de ellos, como el concepto, el símbolo y los subconjuntos.

Conjunto de números naturales (N)

Los números que se usan para contar se llaman números naturales. Por ejemplo 1, 2, 3 etc. El número 0 no es natural. El conjunto de todos los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, …) Se denota con la letra N.

El conjunto de números naturales. está representado por N. Reúne los números que usamos para contar (excepto el cero) y es infinito.

Subconjuntos de números naturales

  • N* = {1, 2, 3, 4, 5…, n…} o N * = N – {0}: Conjuntos de números naturales no nulos, es decir, sin cero.
  • Np = {0, 2, 4, 6, 8…, 2n…}, donde n es N: Conjunto de números naturales pares.
  • Ni = {1, 3, 5, 7, 9…, 2n + 1…}, donde n ∈ N: Conjunto de números naturales impares.
  • P = {2, 3, 5, 7, 11, 13…}: Conjunto de números naturales primos.
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Conjunto de números enteros (Z)

Números enteros (Z) Es el conjunto de número enteros incluye el conjunto de los números naturales y sus opuestos, es decir, grupo de números resultantes de las operaciones aritméticas de suma (+) y resta (-) de números naturales. Por ejemplo: −3; −2; 1; 0; 548; 10050…

El conjunto de números enteros está representado por Z. Reúne todos los elementos de los números naturales (N) y sus opuestos. Por lo tanto, se deduce que N es un subconjunto de Z (N ⊂ Z):

Subconjuntos de enteros

  • Z * = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …} o Z * = Z – {0}: Conjuntos de enteros no nulos, es decir sin el cero
  • Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}: Conjunto de enteros y números no negativos. Tenga en cuenta que Z+ = N.
  • Z* *+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}: Conjunto de enteros positivos sin cero.
  • Z = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}: Conjunto de enteros no positivos.
  • Z* * = {…, –5, –4, –3, –2, –1}: Conjunto de enteros negativos sin cero.

Conjunto de números racionales (Q)

Los números racionales son números que se pueden expresar como una fracción, donde m es un número entero y n es un número natural. En este caso, el número m se llama numerador y el número n es el denominador de la fracción. Tal fracción debe entenderse como el resultado de dividir m por n, incluso si no puede dividirse completamente. La letra latina Q se utiliza para denotar números racionales. Q = {…; -3; -2.5; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 3, 5…}. Todos los números naturales y enteros son racionales.

El conjunto de números racionales está representado por Q. Recopila todos los números que se pueden escribir en la forma p / q, con p y q enteros y q ≠ 0.

Q = {0, ± 1, ± 1/2, ± 1/3, …, ± 2, ± 2/3, ± 2/5, …, ± 3, ± 3/2, ± 3 / 4, …}

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Tenga en cuenta que cada número entero también es un número racional. Por lo tanto, Z es un subconjunto de Q.

Subconjuntos de números racionales

  • Q * = Subconjunto de números racionales distintos de cero, formados por números racionales sin cero.
  • Q+ = Subconjunto de números racionales no negativos, formados por números racionales positivos y cero.
  • Q* *+ = Subconjunto de números racionales positivos, formado por números racionales positivos, sin cero.
  • Q = Subconjunto de números racionales no positivos, formado por números racionales negativos y cero.
  • Q * = Subconjunto de números racionales negativos, números negativos negativos formados sin cero.

Conjunto de números irracionales (I)

Los números irracionales son números que se obtienen al realizar varias operaciones en números racionales (por ejemplo, extraer una raíz, calcular logaritmos), pero que al mismo tiempo no son racionales.

El conjunto de números irracionales está representado por I. Recopila números decimales no exactos con una representación infinita, no periódica, por ejemplo: 3.141592 … o 1.203040…

Es importante destacar que el diezmos periódicos son números racionales y no irracionales. Son números decimales que se repiten después de la coma, por ejemplo: 1,3333333…

Conjunto de números reales (R)

Números reales (reales) (R). Son números que se utilizan para medir cantidades continuas. Los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales.

El conjunto de números reales está representado por R. Este conjunto consta de los números racionales (Q) e irracionales (I). Por lo tanto, tenemos que R = Q ∪ I. Además, N, Z, Q e I son subconjuntos de R.

Pero tenga en cuenta que si un número real es racional, tampoco puede ser irracional. Del mismo modo, si es irracional, no es racional.

Subconjuntos de números reales

  • R* *= {x ∈ R│x ≠ 0}: Conjunto de números reales no nulos.
  • R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: Conjunto de números reales no negativos.
  • R* *+ = {x ∈ R│x> 0}: Conjunto de números reales positivos.
  • R= {x ∈ R│x ≤ 0}: Conjunto de números reales no positivos.
  • R* * = {x ∈ R│x <0}: Conjunto de números reales negativos.
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Rangos numéricos

Incluso hay un subconjunto relacionado con los números reales que se llaman intervalos. Ser a y b números reales y a<b tenemos lo siguiente intervalos reales:

Rango abierto de extremos:]a, b[={x∈R│a<x<b}[={x∈R│a<x<b}

Rango cerrado extremo: [a, b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Rango abierto directo (o dejado cerrado) de extremos:[ab[={x∈R│a≤x<b}[ab[={x∈R│a≤x<b}

Rango abierto izquierdo (o cerrado a la derecha) de extremos:]a, b]= {x ∈ R│a <x ≤ b}

Tipos de intervalos numéricos

Propiedades de conjunto numérico

Para facilitar el estudio de conjuntos numéricos, a continuación se detallan algunas de sus propiedades:

  • El conjunto de números naturales (N) es un subconjunto de enteros: Z (N ⊂ Z).
  • El conjunto de enteros (Z) es un subconjunto de los números racionales: (Z ⊂ Q).
  • El conjunto de números racionales (Q) es un subconjunto de los números reales (R).
  • Los conjuntos de números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I) son subconjuntos de los números reales (R).

Ejercicios resueltos

1. (UFOP-MG) Con respecto a los números a = 0.499999… y b = 0.5, es correcto indicar:

a) b = a + 0.011111
b) a = b
c) a es irracional y b es racional
d) a <b

2. (UEL-PR) Tenga en cuenta los siguientes números:

a) I. 2.212.121 …
b) II 3.212223 …
c) III. π / 5
d) IV. 3.1416
e) V. 4– 4

Marque la opción que identifica los números irracionales:

a) I y II.
b) I y IV.
c) II y III.
d) II y V.
e) III y V.

3. (Cefet-CE) El conjunto es unitario:

a) {x ∈ Z│x <1}
b) {x ∈ Z│x2 > 0}
c) {x ∈ R│x2 = 1}
d) {x Q∈x2 <2}
e) {x ∈ N│1 <2x <4}


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