Ejercicios de conjuntos de números

Ejercicios de conjuntos de números El conjuntos numéricos incluye los siguientes conjuntos: Natural (ℕ), Entero (ℤ), Racional (ℚ), Irracional (I), Real (ℝ) y Complejo (ℂ).

El conjunto de número natural está formado por los números que usamos para contar u ordenar.

  • ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, …}

Para poder resolver todas las restas, como por ejemplo 7-10, se amplió el conjunto de naturales, y conjunto de enteros.

  • ℤ = {…, -3, -2, -1,0,1,2,3, …}

Para incluir divisiones no exactas, el conjunto de racionales, que cubre todos los números que se pueden escribir en forma de fracción, con enteros y enteros denominadores.

  • ℚ = {x = a / b, con a ∈ ℤ, b ∈ ℤ y b ≠ 0}

Sin embargo, todavía había operaciones que daban como resultado números que no podían escribirse en forma de fracción. Por ejemplo, √ 2. Este tipo de número se llama irrazonable.

La unión de lo racional con lo irracional se llama el conjunto de números reales, es decir, ℝ = ℚ ∪ I.

Finalmente, el conjunto de reales también se ha ampliado para incluir las raíces de tipo -n. Este conjunto se denomina conjunto de números complejos.

Ahora que hemos revisado este tema, es hora de aprovechar los ejercicios comentados y las preguntas de Enem para verificar su conocimiento de este importante tema matemático.

conjuntos de números

Índice

Ejercicios comentados

1) El valor de la expresión a continuación, cuando a = 6 y b = 9, es:

a) Un número natural impar
b) Un número que pertenece al conjunto de números irracionales
c) No es un número real
d) Un entero cuyo módulo es mayor que 2

Solución

Primero reemplacemos las letras con los valores dados y resolvamos la expresión:

Tenga en cuenta que (- 6)2 es diferente de – 62, la primera operación se puede hacer como: (-6)2 = (- 6).(- 6) = 36. Ya sin paréntesis, solo 6 es cuadrado, es decir, – 62 = – (6.6) = -36.

Continuando con la resolución tenemos:

Tenga en cuenta que dado que el raíz es un número impar (raíz cúbica), hay una raíz numérica negativa en el conjunto de números reales. Si el raíz fuera un número par, el resultado sería un número complejo.

Ahora veamos cada una de las opciones presentadas:

  • La opción a) está mal porque la respuesta es un número negativo que no forma parte del conjunto de números naturales.
  • El número – 3 no es un decimal infinito no periódico, por lo que no es irracional, por lo que la letra b) tampoco es la solución correcta.
  • La letra c) también está mal porque el número – 3 es un número que pertenece al conjunto de números reales.

La opción correcta solo puede ser la letra d y en realidad el resultado de la expresión es un número entero y el módulo de -3 es 3, que es mayor que 2.

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Respuesta: letra d) un número entero cuyo módulo es mayor que 2.

2) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

a) Cada número entero es racional y cada número real es un número entero.
b) La intersección del conjunto de números racionales con el conjunto de números irracionales tiene 1 elemento.
c) El número 1,83333 … es un número racional.
d) La división de dos enteros es siempre un entero.

Solución

Veamos cada una de las declaraciones:

a) Falso. Realmente cada número entero es racional porque se puede escribir en forma de fracción. Por ejemplo, el número – 7, que es entero, se puede escribir en forma de fracción como -7/1. Sin embargo, no todos los números reales son enteros, por ejemplo, 1/2 no es un número entero.

b) Falso. El conjunto de números racionales no tiene un número en común con el irracional, ya que un número real es racional o irracional. Por lo tanto, la intersección es un conjunto vacío.

c) Verdadero El número 1,83333 … es un diezmo periódico, ya que el número 3 se repite infinitamente. Este número se puede escribir en forma de fracción como 11/6, por lo que es un número racional.

d) Falso. Por ejemplo, 7 dividido entre 3 es igual a 2,33333 …, que es un diezmo periódico, por lo que no es un número entero.

Respuesta: letra c) El número 1,83333 … es un número racional.

3) Se realizó una encuesta para determinar los hábitos de compra de los consumidores para tres productos. La búsqueda arrojó los siguientes resultados:

  • 40% compra el producto A.
  • 25% compra producto B.
  • 33% compra el producto C.
  • 20% compra productos A y B.
  • 5% compra productos B y C.
  • 19% compra productos A y C.
  • El 2% compra los tres productos.

Con base en estos resultados, responda:

a) ¿Qué porcentaje de encuestados no compra ninguno de estos productos?
b) ¿Qué porcentaje de encuestados compra el producto A y B y no compra el producto C?
c) ¿Qué porcentaje de encuestados compra al menos uno de los productos?

Solución

Para resolver este problema, hagamos un diagrama para visualizar mejor la situación.

Siempre debemos comenzar en la intersección de los tres conjuntos. Luego incluiremos el valor de la intersección de dos conjuntos y, finalmente, el porcentaje de personas que solo compran una sola marca de producto.

Se observa que el porcentaje de quienes consumen dos productos también incluye el porcentaje de personas que consumen los tres productos.

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Por lo tanto, en el diagrama indicamos el porcentaje de quienes consumen solo dos productos. Para hacerlo, debemos restar el porcentaje que consume los tres productos de los dos.

Por ejemplo, el porcentaje indicado que consume el producto A y el producto B es del 20%, sin embargo, en este valor se contabiliza el 2% para quienes consumen los tres productos.

Al restar estos valores, es decir, 20% – 2% = 18%, encontramos el porcentaje de consumidores que compran productos A y B solamente.

Teniendo en cuenta estos cálculos, el diagrama de la situación descrita será el siguiente:

Con base en este diagrama, ahora podemos responder las preguntas propuestas.

a) El porcentaje de quienes no compran ningún producto es igual al total, es decir, 100% excepto que consume algún producto. Por lo tanto, debemos hacer el siguiente cálculo:

100 – (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 – 56 = 44%

Pronto El 44% de los encuestados no consume ninguno de los tres productos..

b) El porcentaje de consumidores que compran el producto A y B y no compran el producto C se obtiene restando:

20-2 = 18%

Por lo tanto El 18% de las personas que consumen ambos productos (A y B) no consumen el producto C.

c) Para encontrar el porcentaje de personas que consumen al menos un producto, simplemente sume todos los valores en el diagrama. Así tenemos:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

De esta forma, 56% de los encuestados consumen al menos un producto.

Enem Issues

1) Enem – 2004

Un fabricante de cosméticos decide producir tres catálogos diferentes de sus productos, dirigidos a diferentes audiencias. Debido a que algunos productos estarán presentes en más de un catálogo y abarcarán una página completa, decide contar para reducir los originales impresos. Los catálogos C1, C2 y C3 tendrán 50, 45 y 40 páginas respectivamente. Al comparar los diseños de cada catálogo, encuentra que C1 y C2 tendrán 10 páginas en común; C1 y C3 tendrán 6 páginas en común; C2 y C3 tendrán 5 páginas en común, de las cuales 4 también estarán en C1. Realizando los cálculos correspondientes, el fabricante concluyó que para el ensamblaje de los tres catálogos, necesitará un total de originales impresos iguales a:

a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110

Podemos resolver esta pregunta construyendo un diagrama. Para hacer esto, comencemos con las páginas que son comunes a los tres catálogos, a saber, 4 páginas.

A partir de ahí, indicaremos los valores, restando los que ya se han contabilizado. Por lo tanto, el diagrama se verá de la siguiente manera:

Los valores se encontraron haciendo los siguientes cálculos:

  • Intersección C1, C2 y C3: 4
  • Intersección C2, C3: 5 – 4 = 1
  • Intersección C1 y C3: 6 – 4 = 2
  • Intersección C1 y C2: 10 – 4 = 6
  • C1 solamente: 50-12 = 38
  • Solo C2: 45-11 = 34
  • C3 solamente: 40-7 = 33
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Para encontrar el número de páginas, simplemente agregue todos estos valores, es decir:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

Respuesta c) 118

2) Enem – 2017

En este modelo de termómetro, los filetes registran las temperaturas mínimas y máximas del día anterior y los filetes grises registran la temperatura ambiente actual, es decir, en el momento de la lectura del termómetro.

Por lo tanto tiene dos columnas. A la izquierda, los números están en orden ascendente, de arriba a abajo, de -30 ° C a 50 ° C. En la columna de la derecha, los números se ordenan de abajo hacia arriba de -30 ° C a 50 ° C.

La lectura se realiza de la siguiente manera:

  • La temperatura mínima está indicada por el nivel inferior del filete negro en la columna izquierda.
  • la temperatura máxima se indica mediante el nivel inferior del filete negro en la columna de la derecha.
  • La temperatura actual se indica mediante el nivel superior en los filetes grises en las dos columnas.

¿Cuál es la temperatura máxima más cercana registrada en este termómetro?

a) 5 ° C
b) 7 ° C
c) 13 ° C
d) 15 ° C
e) 19 ° C

3) Enem – 2017

El resultado de una encuesta electoral sobre la preferencia de los votantes sobre dos candidatos estuvo representado por el Gráfico 1.

Cuando este resultado se publicó en el periódico, el Gráfico 1 se cortó durante el diagrama, como se muestra en el Gráfico 2.

Aunque los valores presentados son correctos y el ancho de columna es el mismo, muchos lectores han criticado el formato del Gráfico 2 impreso en el periódico, alegando que hubo discapacidad visual para el candidato B. La diferencia en las proporciones de altura de la columna B por columna A en los gráficos 1 y 2 es:

a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 35/8

Para resolver la pregunta, primero necesitamos encontrar la razón de la altura de la columna B a la columna A en ambos gráficos. Estas razones se encuentran contando cuántas divisiones hay en cada columna.

Tenga en cuenta que en el gráfico 1, la columna A se divide en 7 «piezas» iguales, mientras que la columna B en 3. En el gráfico 2, la columna A se divide en 5 «piezas» iguales y la columna B en solo 1.

Por lo tanto, las fracciones que representan la relación entre la altura de la columna B y la columna A se pueden indicar mediante

Ahora solo resuelve la resta entre estas dos fracciones, entonces tenemos:

Respuesta correcta e) 8/35


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