Zbiory liczb: naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne i rzeczywiste

zestawy liczb łączy kilka zestawów, których elementy są numeryczne. Składają się z liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne i rzeczywiste.

Zestawy liczb – klasyfikacja

Sprawdź cechy każdego z nich, takie jak pojęcie, symbol i podzbiory.

Zbiór liczb naturalnych (N)

El zbiór liczb naturalnych. jest reprezentowany przez N. Połącz liczby, których używamy do liczenia (w tym zero) i jest nieskończone.

Podzbiory liczb naturalnych

  • N* = {1, 2, 3, 4, 5 …, n, …} lub N * = N – {0}: Zbiory liczb naturalnych niezerowych, czyli bez zera.
  • Np = {0, 2, 4, 6, 8 …, 2n, …}, gdzie n to N: Zbiór parzystych liczb naturalnych.
  • Nyo = {1, 3, 5, 7, 9 …, 2n + 1, …}, gdzie n N: Zbiór nieparzystych liczb naturalnych.
  • P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: Zbiór liczb pierwszych naturalnych.

Zbiór liczb całkowitych (Z)

El zbiór liczb całkowitych. jest reprezentowany przez Z. Zbierz wszystkie elementy liczb naturalnych (N) i ich przeciwieństwa. Z tego wynika, że ​​N jest podzbiorem Z (N ⊂ Z):

Podzbiory liczb całkowitych

  • * = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …} lub Z * = Z – {0}: Zbiory niezerowych liczb całkowitych, czyli bez zera
  • Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}: Zbiór liczb całkowitych i nieujemnych. Zauważ, że Z+ = N
  • Z* *+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}: Zbiór dodatnich liczb całkowitych bez zera.
  • Z - = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}: Zbiór niedodatnich liczb całkowitych.
  • Z* *- = {…, –5, –4, –3, –2, –1}: Zbiór ujemnych liczb całkowitych bez zera.

Zbiór liczb wymiernych (Q)

El zbiór liczb wymiernych. jest reprezentowany przez Q. Zbierz wszystkie liczby, które można zapisać w postaci p / q, z p y oferuje nasz konfigurator liczb całkowitych i q ≠ 0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, …, ±2, ±2/3, ±2/5, …, ±3, ±3/2, ±3/4, …}

Zauważ, że każda liczba całkowita jest również liczbą wymierną. Więc Z jest podzbiorem Q.

Podzbiory liczb wymiernych

  • w* = Podzbiór liczb wymiernych innych niż zero, utworzony przez liczby wymierne bez zera.
  • Q+ = Podzbiór nieujemnych liczb wymiernych składający się z dodatnich liczb wymiernych i zera.
  • Q* *+ = Podzbiór dodatnich liczb wymiernych utworzony przez dodatnie liczby wymierne bez zera.
  • Q- = Podzbiór niedodatnich liczb wymiernych składający się z ujemnych liczb wymiernych i zera.
  • w*- = Podzbiór ujemnych liczb wymiernych, ujemne liczby ujemne utworzone bez zera.

Zbiór liczb niewymiernych (I)

El zbiór liczb niewymiernych. jest reprezentowany przez I. Zbiera niedokładne liczby dziesiętne z nieskończoną, niepowtarzalną reprezentacją, na przykład: 3.141592... lub 1.203040...

Należy zauważyć, że plik okresowe dziesięciny Są to liczby wymierne, a nie niewymierne. Są to liczby dziesiętne, które powtarzają się po przecinku, na przykład: 1,3333333 …

Zbiór liczb rzeczywistych (R)

El zbiór liczb rzeczywistych jest reprezentowany przez R. Ten zbiór składa się z liczb wymiernych (Q) i niewymiernych (I). Dlatego mamy, że R = Q ∪ I. Również N, Z, Q i I są podzbiorami R.

Pamiętaj jednak, że jeśli liczba rzeczywista jest racjonalna, nie może być też irracjonalna. Podobnie, jeśli jest irracjonalny, nie jest racjonalny.

Podzbiory liczb rzeczywistych

  • R* *= {x ∈ R│x ≠ 0}: Zbiór niezerowych liczb rzeczywistych.
  • R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: Zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych.
  • R* *+ = {x ∈ R│x> 0}: Zbiór dodatnich liczb rzeczywistych.
  • R- = {x ∈ R│x ≤ 0}: Zbiór niedodatnich liczb rzeczywistych.
  • R* *- = {x ∈ R│x <0}: Zbiór ujemnych liczb rzeczywistych.

Zakresy numeryczne

Istnieje nawet powiązany podzbiór liczb rzeczywistych zwany zakresami. Być el y b prawdziwe liczby teraz rzeczywiste interwały:

Otwarty zakres ekstremów:]a, b[={x∈R│a

Ekstremalnie zamknięty zasięg: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Bezpośredni otwarty zakres (lub pozostawione zamknięte) punkty końcowe:[ab[={x∈R│a≤x

Lewy otwarty zakres (lub prawostronnie zamknięte) punkty końcowe:]a, b]= {x ∈ R│a

Właściwości zestawu liczbowego

Aby ułatwić badanie zbiorów liczbowych, niektóre z ich właściwości są szczegółowo opisane poniżej:

  • Zbiór liczb naturalnych (N) jest podzbiorem liczb całkowitych: Z (N ⊂ Z).
  • Zbiór liczb całkowitych (Z) jest podzbiorem liczb wymiernych: (Z ⊂ Q).
  • Zbiór liczb wymiernych (Q) jest podzbiorem liczb rzeczywistych (R).
  • Zbiory liczb naturalnych (N), liczb całkowitych (Z), liczb wymiernych (Q) i niewymiernych (I) są podzbiorami liczb rzeczywistych (R).

Rozwiązane ćwiczenia

1. (UFOP-MG) Odnośnie liczb a = 0.499999 … i b = 0.5, prawidłowe jest wskazanie:

a) b = a + 0.011111
b) a = b
c) el jest irracjonalne i b jest racjonalny
d) a<b

2. (UEL-PR) Proszę zwrócić uwagę na następujące liczby:

a) I. 2.212.121 XNUMX XNUMX …
b) II 3.212223 …
c) III. pi / 5
d) IV. 3.1416 r
e) Wersety 4–4

Zaznacz opcję identyfikującą liczby niewymierne:

a) I i II.
b) I i IV.
c) II i III.
d) II i V.
e) III i V.

3. (Cefet-CE) Zestaw jest jednolity:

a) {x ∈ Z│x <1}
b) {x ∈ Z│x2 > 0}
c) {x ∈ R│x2 = 1}
d) {x Q∈x2 <2}
e) {x ∈ N│1 <2x <4}