Formuła Bhaskara

Formuła Bhaskara. Jest uważany za jeden z najważniejszych w matematyce.

Służy do rozwiązywania równań kwadratowych, wyrażonych w następujący sposób:

gdzie

x: Jest to zmienna o nazwie nieznany
a: współczynnik kwadratowy
b: współczynnik liniowy
c: stały współczynnik

Równania drugiego stopnia

Równania drugiego stopnia nazywane są „równaniami kwadratowymi”, ponieważ określają wartości równania wielomianowego stopnia drugiego.

Są one reprezentowane przez wyrażenie:

W takim przypadku a, b y c są liczbami rzeczywistymi i el 0, na przykład:

2x² + 3x + 5 = 0

gdzie

a = 2
b = 3
do = 5

Zauważ, że jeśli współczynnik c jest równy zero, mamy równanie pierwszego stopnia:

topór + b = 0

Przykłady

Aby lepiej zrozumieć współczynniki (a, b, c) równania kwadratowego, zobacz kilka przykładów poniżej.

• x² – 1 = 0 ⇒ za = 1; b=0; c = –1
• - x² + 2x = 0 ⇒ za = – 1; b=2; do = 0
• - 4x² = 0 ⇒ do = – 4; b=0; do = 0
• 2x² + 3x + 5 = 0 ⇒ za = 2; b=3; do = 5
• 3x² – 4x + 1 = 0 ⇒ a = 3; b = -4; do = 1

Równanie dyskryminacyjne

Wyrażenie wewnątrz pierwiastka kwadratowego we wzorze Bhaskary nazywa się równaniem dyskryminacyjnym i jest reprezentowane przez grecką literę delta (Δ)czyli:

Zwykle wyrażenie to oblicza się osobno, ponieważ na podstawie znalezionej wartości możemy z góry wiedzieć, ile pierwiastków równania i czy należą one do zbioru liczb rzeczywistych.

TZauważ, że a, b i c są stałymi w równaniu, a wartość Delta (Δ) może wystąpić na trzy sposoby:

• Jeśli wartość Δ jest większa od zera (Δ> 0), równanie ma dwa rzeczywiste i różne pierwiastki.
• Jeśli wartość Δ jest równa zero (Δ = 0), równanie będzie miało pierwiastek rzeczywisty.
• Jeśli wartość Δ jest mniejsza od zera (Δ < 0), równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

W ten sposób zastępując wyrażenie dyskryminujące deltą, formułą Bhaskary.

Przykład

Ile i jakie są pierwiastki równania x?² – 5x + 6 = 0?

Rozwiązanie

Pierwszym krokiem w rozwiązaniu równania przy użyciu wzoru Bhaskary jest identyfikacja współczynników w równaniu. Dlatego współczynniki w równaniu to: a = + 1, b = – 5 i c = + 6.

Aby poznać liczbę pierwiastków, musimy obliczyć wartość delty, więc mamy:

Ponieważ delta jest większa od zera, równanie będzie miało dwa rzeczywiste i różne pierwiastki. Teraz zastosujmy wzór Bhaskary, aby znaleźć wartość pierwiastków.

Dlatego dwa pierwiastki równania to 2 i 3.

Klasyfikacje równań kwadratowych

Równania drugiego stopnia mogą być dwojakiego rodzaju:

• Zakończyć: gdy współczynniki el, b i c są różne od zera.
• Niekompletny: gdy współczynnik el jest różny od zera (en ≠ 0) i boc lub oba są równe zeru.

Wzór Bhaskary jest najczęściej używany w pełnych równaniach kwadratowych. Można również użyć niekompletnych, jednak istnieją prostsze metody ich rozwiązania.

Ciekawość

Formuła Bhaskary została nazwana, aby oddać hołd indyjskiemu matematykowi i astronomowi Bhaskarze Akarii (1114-1185). Uważany jest za jednego z najważniejszych matematyków XII wieku.

Spadł na egzaminie wstępnym

(PUC- Campinas) Tak v y w są pierwiastkami równania x² + topór + b = 0, gdzie a y b są współczynnikami rzeczywistymi, to v² +w² jest równe:

a) x² - 2b
b) x² +2b
c) x² - 2b²
d) x² +2b²
e) x² –b2